具体实施方式

为了使本技术领域的人员更好地理解本申请方案，下面将结合本申请实施例中的附图，对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本申请保护的范围。

在现有技术中，多是采用全波仿真软件分析或使用基于多重散射法的解析方法对平行板上密集通孔阵列进行建模，但发现上述建模方法中，使用全波仿真软件需要对整个计算区域划分网格，因此，仿真时间比较长，而使用基于多重散射法的解析方法，不能计算平行板边界的反射，相当于无限大的平行板，在更高的频率不够精确。

为了便于理解，请参阅图1，本发明提供的一种密集金属过孔的半解析分析方法，应用于多层平行板，多层平行板均设有若干个径向端口，若干个径向端口包括若干个同轴端口和若干个金属通孔，多层平行板之间的若干个金属通孔构成金属过孔阵列包括以下步骤：

S1、以任一个径向端口的中心作为原点建立局部坐标系，基于局部坐标系下的柱面波获得垂直于平行板所在空间的电场的柱面波函数，基于电场的柱面波函数得到出射波的展开系数和入射波的展开系数，将出射波的展开系数和入射波的展开系数分别转换为出射波的展开系数矩阵和入射波的展开系数矩阵；

S2、依据柱面波加法定理，获得从平行板上的任一个径向端口向外出射的电磁波入射另一个径向端口的电磁波的幅度的表征函数，表征函数包含柱面波加法定理系数；

S3、根据平行板的边界条件，判断是否存在来自边界的反射波，当判断存在来自边界的反射波时，则利用边界积分法求解柱面波加法定理系数；

S4、通过柱面波加法定理系数关联出射波的展开系数矩阵和入射波的展开系数矩阵，从而得到第一关联函数关系；

S5、根据金属通孔的边界条件确定反射矩阵，根据反射矩阵获得所有金属通孔组合后的总反射矩阵，根据所有金属通孔的反射矩阵关系式，将总反射矩阵关联出射波的展开系数矩阵和入射波的展开系数矩阵，从而得到第二关联函数关系；

S6、通过对第一关联函数关系和第二关联函数关系进行矩阵运算，得到第二径向散射矩阵；

S7、基于第二径向散射矩阵和阻抗矩阵的变换关系，将第二径向散射矩阵变换为平行板的阻抗矩阵。

需要说明的是，使用全波仿真工具需要对整个区域划分网格，因此，仿真时间较长，而本实施例通过利用边界积分法求解柱面波加法定理系数，在一维边界上划分片段，无需整个区域划分网格，大大缩短了仿真时间，提高了建模速度，同时，还通过根据平行板的边界条件，考虑来自边界的反射波，可以计算平行板边界的反射波，从而能够实现在更高的频率上的建模更加精确，提高实用性。

以下为本发明提供的一种密集金属过孔的半解析分析方法的具体实施例的详细描述。

请参阅图2，图2示意出了具有同轴端口和金属过孔阵列的平行板的俯视图，多层平行板均设有若干个径向端口，若干个径向端口包括若干个同轴端口和若干个金属通孔，多层平行板之间的若干个金属通孔构成金属过孔阵列，其中，多层平行板之间的金属过孔阵列构成的围栏为任意形状的，平行板之间的介质厚度为h，相对介电常数和损耗角正切分别是ε_r和tanδ。

在步骤S1中，具体包括：

S101、以第i径向端口的中心作为原点建立局部坐标系，基于局部坐标系下的柱面波获得垂直于平行板所在空间的电场的柱面波函数的表达式为，

公式1中，表示电场，和分别表示为入射波的展开系数和出射波的展开系数，J_m和分别表示为第m阶贝塞尔函数和第二类汉克尔函数，ρⁱ、z表示以第i个径向端口为中心的局部坐标系下的点的坐标值，k_n表示为波数，该式中的w表示角频率，ε₀、μ₀、ε_r均为常数，j₁表示虚部单位，m和n均表示电磁场模式数，和所表示的无穷项的和分别用整数M_i和整数N截断，m∈[-M_i,M_i]，n∈[0,N]，h表示平行板之间的介质厚度；

需要说明的是，和所表示的无穷项的和均为整数，也就是其可以利用整数来截断，从而可以计算更为复杂的电磁场模式，以提高在更高频率下的建模精确度。

出射波表示出射的柱面谐波，入射波表示入射的柱面谐波。

入射波的展开系数和出射波的展开系数转换为行数为(N+1)×(2M_i+1)的入射波的展开系数矩阵a⁽ⁱ⁾和出射波的展开系数矩阵b⁽ⁱ⁾，具体分别表示为，

在步骤S2中具体包括：

S201、依据柱面波加法定理，通过汉克尔函数和贝塞尔函数的转换表征从平行板上的第j个径向端口向外出射的电磁波入射第i个径向端口的电磁波的幅度，其表征表达式为，

公式4中，表示柱面波加法定理系数，m'表示电磁场模式数，为(2M_i+1)×(2M_j+1)矩阵，和分别表示为局部坐标系下的第i个径向端口和第j个径向端口的坐标。

步骤S3具体包括：

S301、根据平行板的边界条件，判断是否存在来自边界的反射波，当判断不存在来自边界的反射波时，则执行步骤S302，当判断存在来自边界的反射波时，则执行步骤S303；

S302、仅考虑从第j个径向端口到第i个径向端口的直入射波，则根据汉克尔函数和贝塞尔函数的变换对柱面波加法定理系数进行解析得到如下式，

公式5中，δ_ij表示克罗内克函数，表示汉克尔函数，ρ_ji表示第j个径向端口到第i个径向端口的距离；

需要说明的是，当判断不存在来自边界的反射波时，则说明平行板为无穷大的平行板，也即理想匹配层(perfectly matched layer，PML)边界的平行板，没有从边界来的反射波，因此，只需考虑从第j个径向端口到第i个径向端口的直入射波。

S303、利用边界积分法求解柱面波加法定理系数。

需要说明的是，在实际应用中，判断存在来自边界的反射波的情况比较常见，如理想电导体(perfect electric conductor，PEC)边界或理想磁导体(perfect magneticconductor，PMC)边界的有限大平行板，则需要计算来自平行板边缘的反射波，并利用边界积分法求解柱面波加法定理系数，具体求解过程如下：

(1)对于PEC边界的平行板，柱面波加法定理系数可以写成：

公式5.1中，表示柱面波加法定理系数，表示直入射波，其等于公式5中的 表示来自边界的反射波，表示矩量法矩阵，表示由第j个径向端口出射的柱面谐波入射到PEC边界上的片段的柱面谐波，表示将PEC边界片段上的等效电流转换为发射到第i个径向端口的柱面谐波。

如图3所示，假设将平行板的边界Γ划分为N_e个片段，然后，通过边界积分方程，可以计算出N_e×N_e的矩量法矩阵为，

公式5.2中，γ表示常数，γ＝1.781072418，s和t均表示边界Γ上的任意的片段，s,t＝1,2,…,N_e，矢量和分别指向片段t和片段s的中点，w_s表示片段s的长度，ρ_ts表示片段t到片段s的距离；

公式5.1中的为N_e×(2M_j+1)矩阵，表示由第j个径向端口出射的柱面谐波入射到PEC边界上的片段的柱面谐波，其元素为，

公式5.3中，矢量表示第j个径向端口的位置，表示矢量和矢量之间的夹角；

公式5.1中的为N_e×(2M_j+1)矩阵，表示将PEC边界片段上的等效电流转换为发射到第i个径向端口的柱面谐波，其元素为，

公式5.4中，矢量表示第i个径向端口的位置；

(2)与上述PEC边界的平行板的柱面波加法定理系数的求解过程一致，对于PMC边界的平行板，柱面波加法定理系数可以写成：

公式5.5中，表示直入射波，其等于公式5中的 表示来自边界的反射波，表示将PMC边界片段上的等效磁流转换为发射到第i个径向端口的柱面谐波，表示矩量法矩阵；

其中，矩量法矩阵的元素为，

公式5.6中， 表示单位矢量；

中的元素为，

公式5.7中，表示垂直方向的单位矢量；

步骤S4具体包括：

S401、根据柱面波加法定理系数得到第一径向散射矩阵为，

公式6.1中，表示第一径向散射矩阵，表示n阶高次模式下，第i个径向端口和第j个径向端口之间的柱面波加法定理系数矩阵，n＝2,...,N。

可以理解的是，柱面波加法定理系数为第i、j两个径向端口所对应的柱面波加法定理系数，将所有的径向端口的柱面波加法定理系数组合后，得到公式6.1中的第一径向散射矩阵；

依据柱面波加法定理，出射波的展开系数矩阵和入射波的展开系数矩阵通过第一径向散射矩阵关联得到，

公式6中，表示第一径向散射矩阵；

S402、假设平行板上设有Np个径向端口，其中，包括P个同轴端口和Q个金属通孔，则将第一径向散射矩阵进行组合，以构成Np个径向端口的总第一径向散射矩阵；

其中，总第一径向散射矩阵定义为S_PP，则得到，

S403、考虑柱面谐波在同轴端口和金属通孔之间的传输关系，则将总第一径向散射矩阵转换为径向散射子矩阵为，

公式7中，S_ss表示从同轴端口到同轴端口对应的第一径向散射矩阵，S_sv表示从同轴端口到金属通孔对应的第一径向散射矩阵，S_vs表示从金属通孔到同轴端口对应的第一径向散射矩阵，S_vv表示从金属通孔到金属通孔对应的第一径向散射矩阵。

可以理解的是，柱面谐波在同轴端口和金属通孔之间的传输关系可以包括四种情况，具体为从同轴端口传输至金属通孔，从金属通孔传输至同轴端口，从同轴端口传输至同轴端口，从金属通孔传输至金属通孔，因此，为了区分不同的传输关系，将总第一径向散射矩阵转换为如公式7所示的径向散射子矩阵。

S404、根据径向散射子矩阵和公式6，得到第一关联函数关系为，

公式8中，a_s和b_s分别表示同轴端口的入射波的展开系数矩阵和出射波的展开系数矩阵，a_v和b_v分别表示金属通孔的入射波的展开系数矩阵和出射波的展开系数矩阵。

可以理解的是，考虑区分同轴端口和金属通孔，因此，需要将同轴端口和金属通孔的第一关联函数关系进行区别表示，其中，在第一关联函数关系中，包含了通过径向散射子矩阵关联同轴端口的出射波的展开系数矩阵和入射波的展开系数矩阵的关联关系，以及通过径向散射子矩阵关联金属通孔的出射波的展开系数矩阵和入射波的展开系数矩阵的关联关系。

步骤S5具体包括：

S501、根据金属通孔的边界条件，确定反射矩阵中的元素为，

公式9中，T⁽ⁱ⁾表示反射矩阵，T⁽ⁱ⁾(m,n)表示反射矩阵中的元素，rⁱ表示第i个径向端口的半径；

需要说明的是，由于对每个过孔都是金属通孔，因此，用PEC边界作为基准边界，对于PEC边界的平行板过孔，内部没有磁场和电场，其金属通孔的边界条件为，

再根据公式9.1带入公式1中可以得到公式9。

S502、假设平行板上设有Q个金属通孔，则Q个金属通孔组合后的总反射矩阵T通过反射矩阵T⁽ⁱ⁾表示为，

T＝diag{T⁽ⁱ⁾}，i∈[1,Q] 公式10

S503、基于微波网络理论，将反射矩阵T⁽ⁱ⁾关联出射波的展开系数矩阵和入射波的展开系数矩阵得到金属通孔的反射矩阵关系式为，

b⁽ⁱ⁾＝T⁽ⁱ⁾a⁽ⁱ⁾ 公式11

需要说明的是，含有同轴端口的金属通孔的等效微波网络如图4所示，将金属通孔看作负载，从而得到同轴端口之间的耦合，其中，假设有P个同轴端口和Q个金属通孔，则可以将Q个金属通孔可以看作是平行板的负载。

S504、将总反射矩阵T代入到公式11，得到第二关联函数关系为，

a_v＝T^-1b_v 公式12

步骤S6具体包括：

S601、通过公式8进行矩阵运算得到下式，

a_v＝S_vsb_s+S_vvb_v 公式13

S602、将公式12代入至公式13中，得到同轴端口的出射波的展开系数矩阵b_s和金属通孔的出射波的展开系数矩阵b_v的关系式为，

b_v＝(T^-1-S_vv)^-1S_vsb_s 公式14

S603、将公式14代入至公式8中，得到下式：

a_s＝[S_ss+S_sv(T^-1-S_vv)^-1S_vs]b_s 公式15

S604、基于公式6通过第二径向散射矩阵表征公式15，则得到下式：

公式16中，表示第二径向散射矩阵，则得到

步骤S7具体包括：

S701、基于第二径向散射矩阵和阻抗矩阵的变换关系，由第二径向散射矩阵可以计算得到下式：

公式17中，表示平行板的阻抗矩阵，H₀、J₀、H₁、J₁均为P×P对角矩阵，具体为：

J₀＝diag{J₀(k₀r_i)h}

上式中，k₀表示波数k_n中的n为0下的波数；ω表示角频率，μ表示磁导率。

需要说明的是，对于同轴端口，本实施例的同轴端口的端口半径为电小尺寸，因此，在公式1中的无穷项之和可以设置为0，即只用考虑0阶的(即公式1中的m和n均为0)、各向同性的平行板模式。因此，同轴端口之间的耦合可以通过平行板的阻抗矩阵来表征。

在获得平行板的阻抗矩阵后，可以将其转换成广义散射参数矩阵来表征同轴端口之间的耦合。

以上实施例仅用以说明本申请的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本申请进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本申请各实施例技术方案的精神和范围。