具体实施方式

现在将参考附图更全面地描述示例实施方式。然而，示例实施方式能够以多种形式实施，且不应被理解为限于在此阐述的范例；相反，提供这些实施方式使得本发明将更加全面和完整，并将示例实施方式的构思全面地传达给本领域的技术人员。

附图中所示的流程图仅是示例性说明，不是必须包括所有的内容和操作/步骤，也不是必须按所描述的顺序执行。例如，有的操作/步骤还可以分解，而有的操作/步骤可以合并或部分合并，因此实际执行的顺序有可能根据实际情况改变。

本公开的实施例提供了一种基于异方差回归的叶片蠕变-疲劳复合概率寿命分析方法，如图1和图4所述，该分析方法包括：

步骤S100、获取目标涡轮叶片材料的疲劳试验数据，根据所述试验数据进行低周疲劳概率寿命的确定，所述低周疲劳概率寿命的确定包括确定概率寿命方程中的预设参数以及进行标准应变比下的概率寿命方程向任意应变比下的概率寿命方程的修正；

步骤S200、根据所述试验数据进行蠕变概率寿命的确定，蠕变寿命方程中的自变量包括温度和保载应力，蠕变概率寿命模型通过二元异方差回归分析获取；

步骤S300、建立涡轮叶片有限元分析模型，包括建立几何模型，设置材料属性，施加边界条件以及外载荷，提取有限元分析结果；

步骤S400、抽取概率寿命辅助变量的随机样本，结合有限元输出结果通过寿命方程的分析得到低周疲劳寿命的随机样本以及蠕变寿命的随机样本；通过线性累积损伤理论，得到蠕变-疲劳复合寿命的随机样本；

步骤S500、根据核密度方法确定蠕变-疲劳复合寿命的概率密度函数；

步骤S600、通过自助抽样法得到不同存活概率下给定置信水平对应的复合寿命置信区间。

本公开提供的基于异方差回归的叶片蠕变-疲劳复合概率寿命分析方法，首先可通过试验得到例如涡轮叶片材料DZ125在800℃下的疲劳寿命试验数据，利用一元异方差回归分析得到了DZ125材料800℃下的概率寿命方程；通过试验得到了涡轮叶片材料DZ125在三个温度不同保载应力下的蠕变寿命试验数据，推导建立了二元异方差回归分析模型，建立了蠕变寿命方差随蠕变温度以及保载应力变化的蠕变概率寿命模型。其次，抽取疲劳寿命分散性表征辅助变量以及蠕变寿命分散性表征辅助变量样本，通过概率寿命模型分析得到对应的疲劳寿命以及蠕变寿命样本，再通过线性损伤累积理论得到蠕变-疲劳寿命样本。最后，基于蠕变-疲劳寿命样本通过核密度估计得到蠕变-疲劳复合寿命概率分布，并通过Bootstrap(自助抽样法)对试验数据的重抽样再重复分析得到涡轮叶片在不同存活概率下寿命估计值的95％置信区间。

下面，将对本公开提供的基于异方差回归的叶片蠕变-疲劳复合概率寿命分析方法中的各步骤进行详细的说明。

在步骤S100中，获取目标涡轮叶片材料的疲劳试验数据，根据所述试验数据进行低周疲劳概率寿命的确定，所述低周疲劳概率寿命的确定包括确定概率寿命方程中的预设参数以及进行标准应变比下的概率寿命方程向任意应变比下的概率寿命方程的修正。

具体地，步骤S100中的疲劳概率寿命模型是通过一元异方差回归方法得到的，通过抽取辅助变量的随机样本结合结构考核部位的循环应力得到结构考核部位当前应力循环水平下的概率寿命。S100中的具体子步骤如下：

步骤S101：收集得到所研究材料在应变循环比下的疲劳寿命数据。以所针对的涡轮叶片材料DZ125为例，表1为DZ125合金铸件低周疲劳寿命数据。

表1：DZ125合金铸件低周疲劳性能

步骤S102：建立疲劳寿命估计的概率-应变-寿命模型。

异方差回归的基本理论如下：

应变-寿命曲线更适用于材料在承受大载荷而产生塑性变形，更适合于计算低周疲劳寿命，最常用的是Manson-Coffin模型，具体表达式如下：

其中，Δε_t＝ε_max-ε_min，

其中，Δε_t为总应变幅、Δε_e为弹性应变幅、Δε_p为塑性应变幅、σ′_f为疲劳强度系数、E为弹性模量、N_f为疲劳循环数、b为疲劳强度指数、ε′_f为疲劳塑性系数、c为疲劳塑性指数。

P-ε-N曲线是不同存活率P下的ε-N曲线集。这一曲线集给出了以下信息：在给定的应变循环下疲劳寿命N的分布数据。

Manson-Coffin公式的核心是在双对数坐标内，疲劳寿命分别与弹性应变幅和塑性应变幅呈线性关系，表示为：

令y_e＝log(2N)，可得弹性线的标准线性方程为：

y_e＝a_e+b_ex_e (4)

同理，令y_p＝log(2N)，可得塑性线的标准线性方程为：

y_p＝a_p+b_px_p (5)

大量疲劳试验数据表明，对数寿命的分散性随Δε_e、Δε_p的减少而增大，对数寿命的标准差与对数弹性应变分量、对数塑性应变分量呈线性关系，即：

y＝a+bx+ε (6)

其中，ε～N(0，σ²(x))，σ(x)的表达式为：

σ(x)＝σ₀[1+θ(x-x₀)] (7)

式中，σ₀为对数寿命在x₀应变分量处的标准差。

假设n次独立试验得到的样本为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)、...、(x_n，y_n)，则式(6)及(7)中参数的估计量计算公式为：

式中，ν为方差的自由度，当θ＝0时，ν＝n-2，即退化为同方差情况；当θ≠0时，ν＝n-3。其它过程参量如下：

I(x_i，θ)＝1+θ(x_i-x₀) (13)

将式(16)～(21)代入式(11)中求解θ，θ求解得到后代入式(8)～(10)求解参量a、b和σ₀。

不同存活率下，Manson-Coffin公式中的a_e、a_p、b_e、b_p不同，因此考虑P-ε-N函数拟合时，这四个参数是随机变量， 分别是这四个参数的均值，弹、塑性线的线性标准差由式(7)可表示为：

σ_e(x_e)＝σ_e0[1+θ_e(x_e-x_e0)] (22)

σ_p(x_p)＝σ_p0[1+θ_p(x_p-x_p0)] (23)

式中，σ_e0、σ_p0分别表示对数寿命y_e、y_p在对数应变分量x_e0、x_p0处的标准差，θ_e、θ_p分别表示σ_e、σ_p线性变化的斜率。

由于对数寿命服从正态分布，其均值为(塑性段)，标准差为σ_e(x_e)(塑性段σ_p(x_p))，因此将其转化为标准正态变量为：

因此，得：

相应的塑性线表示为：

式中，u为标准正态随机变量。

Manson-Coffin公式中四个参数与辅助变量u的关系为：

利用异方差回归分析理论结合步骤S101中DZ125材料800℃下的疲劳寿命数据得到DZ125 P-ε-N曲线，如下所示：

据异方差回归分析得到弹性线的相关估计参数：

同理，根据异方差回归分析得到塑性线的相关估计参数：

因此，基于一元异方差回归分析的概率应变-寿命曲线(应变比R_ε为-1)为：

根据式(37)可以估计不同存活概率和不同循环应力水平下材料的疲劳寿命，图2给出了存活概率P为0.01、0.5以及0.99情况下的应变寿命曲线。图2表明，应变幅值越小，疲劳寿命越长，疲劳寿命的分散性越大。

步骤S103：通过Morrow平均应力修正，以对称循环的疲劳寿命标准差代替非对称循环的疲劳寿命标准差，能够得到修正的疲劳寿命概率模型，即：

其中，σ_m是平均应力、E是杨氏模量、u是辅助变量且服从标准正态分布。

在步骤S200中，根据所述试验数据进行蠕变概率寿命的确定，蠕变寿命方程中的自变量包括温度和保载应力，蠕变概率寿命模型通过二元异方差回归分析获取。

具体地，步骤S200中的蠕变概率寿命模型是通过二元异方差回归方法得到的，通过抽取辅助变量的随机样本结合结构考核部位的循环应力得到结构考核部位当前保载应力下蠕变概率寿命。步骤S200中的具体子步骤如下：

步骤S201：收集得到所研究材料在不同温度和不同保载应力下的蠕变寿命，以所针对的涡轮叶片材料DZ125为例，表2为DZ125合金铸件在760℃、980℃以及1040℃下的蠕变寿命数据。

表2：不同温度不同应力下DZ125的蠕变寿命试验数据

步骤S202：利用二元异方差回归分析得到如下概率蠕变寿命方程，即：

lg N_c＝b₀+b₁T+b₂ lg S+b₃(lg S)²+b₄(lg S)³+σ₀|1+θ_T(T-x_T0)+θ_S(S-x_S0)|μ (39)

其中，N_c表示蠕变寿命，T是温度，S是保载应力，b_i(i＝0，1，...，4)是模型参数，σ₀是对数寿命lg N_c在温度分量x_T0和保载应力分量x_S0处的标准差，θ_T、θ_S对数寿命标准差随温度和保载应力的变化斜率，u是辅助变量且服从标准正态分布。

所提出的二元异方差回归的基本理论如下：

在持久试验和蠕变试验中，当应力或温度越来越大时，其寿命分散性必然越来越小，即各个应力或温度下的对数寿命方差是不相等的。因此亟需建立二元异方差回归模型来解决概率蠕变寿命模型建立的问题。

首先假设随机误差项与温度和应力的关系为：

σ(S，T)＝σ₀|1+θ_T(T-T₀)+θ_S(S-S₀)| (40)

其中，用T和S表示温度和应力。不同温度不同应力下随机误差的方差项是不同的，一般情况下温度越高，应力越大，寿命越小，寿命的分散性越小，寿命标准差越小，因此θ_T与θ_S一般情况下应该是负值。在二元异方差蠕变寿命分析中采用M-S方程，即

lg t_c＝b₀+b₁T+b₂X+b₃X²+b₄X³ (41)

蠕变寿命方程可以写为：

Y＝b₀+b₁T+b₂X+b₃X²+b₄X³ (42)

其中，Y＝lg t_c，X＝lg σ，令X₁＝T，X₂＝X，X₃＝X²，X₄＝X³，则式(41)可以表示为：

Y＝b₀+b₁X₁+b₂X₂+b₃X₃+b₄X₄ (43)

考虑蠕变寿命分散性关于应力X₁及X₂的异方差性，则可得如下考虑随机误差项的异方差分析模型，即

Y＝b₀+b₁X₁+b₂X₂+b₃X₃+b₄X₄+ε (44)

其中ε～N[0，σ(x₁，x₂)]，σ(x₁，x₂)＝σ₀|1+θ₁(x₁-x₁₀)+θ₂(x₂-x₂₀)|。

令

则式(43)可以表示为：

N_c＝b₀Z₀+b₁Z₁+b₂Z₂+b₃Z₃+b₄Z₄+u (45)

其中，则

通过式(45)可以通过加权的方式将异方差等价转化为同方差线性回归。

θ₁、θ₂的求解采用最大似然估计：

似然函数L最大，则只需 最小，也就是最小二乘的残差平方和达到最小。

因此，可以采用优化的思路来求解θ₁、θ₂及系数矩阵b＝[b₀，b₁，b₂，b₃，b₄]。

求解θ₁、θ₂及系数矩阵b＝[b₀，b₁，b₂，b₃，b₄]的优化模型为：

σ0的计算式为：

利用异方差回归分析理论结合步骤S201中DZ125材料的蠕变寿命数据得到DZ125P-T-S-N_c曲线，如下所示：

Y＝2.2252×10⁴-2.8117×10⁴X+1.1845×10⁴X²-1.6637×10³X³+ε

ε～(0，0.0132×(1-0.1295×(X-2.3754)) (53)

其中，Y表示对数寿命、X表示对数保载应力。

通过试验数据结合本专利中的二元异方差回归模型可以估计所研究材料在不同温度、不同保载应力下的概率蠕变寿命。

根据式(54)可以估计不同存活概率和不同保载应力下材料的疲劳寿命，图3给出了存活概率P为0.01、0.5以及0.99情况下的保载应力-寿命曲线。图3结果表明保载应力越小寿命越长，寿命的分散性越大。

在步骤S300中，建立涡轮叶片有限元分析模型，包括建立几何模型，设置材料属性，施加边界条件以及外载荷，提取有限元分析结果。

具体地，涡轮叶片的几何模型如图5所示。材料为DZ125，工作温度为800℃，材料属性及工况信息如表3及表4所示。表5为根据有限元分析结果得到的不同工况下的循环应力和循环应变信息。13880rpm转速下的有限元分析结果如图6所示。

表3：DZ125材料在800℃下的材料属性

表4：主循环与有损伤的次循环(平均一次起落)

表5：两种工况下考核气膜孔处的应力应变分析结果

在步骤S400中，抽取概率寿命辅助变量的随机样本，结合有限元输出结果通过寿命方程的分析得到低周疲劳寿命的随机样本以及蠕变寿命的随机样本；通过线性累积损伤理论，得到蠕变-疲劳复合寿命的随机样本。

具体地，步骤S400中通过辅助变量随机性向疲劳寿命和蠕变寿命的传递得到对应的寿命随机样本，再通过线性损伤累积得到对应的复合寿命随机样本。具体步骤如下：

步骤S401：令P_Li表示第i级疲劳寿命的存活概率、P_C表示蠕变寿命的存活概率。由于存活概率是在0到1之间取值，因此在[0,1]区间上分别随机抽取n个以及P_C的样本，即得到相对应的辅助变量样本其中，表示第i级疲劳寿命分析方程中辅助变量的第k个样本，表示第i级蠕变寿命分析方程中辅助变量的第k个样本。

步骤S402：设置k＝1；

步骤S403：根据P-ε-N曲线以及P-T-S-N_C曲线计算存活率为下的疲劳寿命下的蠕变寿命

步骤S404：根据线性损伤累积理论，通过计算叶片的复合寿命

步骤S405：判断k是否大于n，当k＞n时继续执行；否则，令k＝k+1，并返回步骤S403；

步骤S406：对复合寿命进行排序，即 根据排序后的数据计算不同存活概率下的叶片复合寿命，当存活概率为p时，对应的复合寿命为其中[·]表示取整运算。

示例的，在步骤S400中，抽取概率寿命辅助变量的随机样本，结合有限元输出结果通过寿命方程的分析得到低周疲劳寿命的随机样本以及蠕变寿命的随机样本；通过线性累积损伤理论，得到蠕变-疲劳复合寿命的随机样本，其具体步骤可为：

步骤S410：利用N₁表示主循环的疲劳寿命，N₂表示次循环的疲劳寿命，N₃表示蠕变寿命；

步骤S420：对于第一种主循环工况，平均应力总应变幅值抽取辅助的标准正态变量u的样本为{u₍₁₎，u₍₂₎,...,u_(n)}，样本规模为n，根据式(37)计算对应的n组寿命，即：

步骤S430：对于第二种次循环工况，平均应力总应变幅值抽取辅助的标准正态变量u的样本为{u₍₁₎,u₍₂₎,...,u_(n)}，样本规模为n，根据式(37)计算对应的n组寿命，即：

步骤S440：对于蠕变情况，保载应力为σ＝415.2125MPa，抽取变量ε的样本为{ε₍₁₎,ε₍₂₎,...,ε_(n)}，样本规模为n，根据式(37)计算对应的n组寿命，即：

步骤S450：根据三个模式下的寿命样本，计算得到蠕变-疲劳复合寿命样本，如下所示：

其中100min表示一次起降工况1平均应力的保载时间。

在步骤S500中，根据核密度方法估计得到蠕变-疲劳寿命的概率密度函数。

具体地，根据步骤S400中，中得到的复合寿命样本结合核密度估计估算复合寿命的概率密度函数。蠕变-疲劳复合寿命分布的概率密度函数如图7所示。核密度估计方法的原理如下：

设K(u)为R上的一个给定的概率密度函数，则：

称为总体概率密度f_n(x)的一个核估计，K(u)为核函数(也称为窗函数)，n为核函数的数量，h_i>0为窗宽，α_i是每个核函数的权重，且0<α_i<1，

在步骤S600中，通过Bootstrap(自助抽样法)方法得到不同存活概率下给定置信水平对应的复合寿命置信区间。

具体地，步骤S600包括：步骤S601：得到疲劳寿命试验数据和蠕变寿命试验数据。令{(x⁽ⁱ⁾,y⁽ⁱ⁾)；i＝1,...,S₁}表示所研究温度下应变循环幅值为x⁽ⁱ⁾(i＝1,...,S₁)下的疲劳试验数据y⁽ⁱ⁾(i＝1,...,S₁)，{(T⁽ⁱ⁾,s⁽ⁱ⁾,n_c ⁽ⁱ⁾)；i＝1,...,S₂}表示温度为T⁽ⁱ⁾，保载应力为s⁽ⁱ⁾下的蠕变寿命试验数据n_c ⁽ⁱ⁾；

步骤S602：令k＝1；

步骤S603：获取第k组Bootstrap样本。在疲劳试验样本数据{(x⁽ⁱ⁾,y⁽ⁱ⁾)；i＝1,...,S₁}中有放回地抽取S₁个样本，记为 在蠕变试验样本数据{(T⁽ⁱ⁾,s⁽ⁱ⁾,n_c ⁽ⁱ⁾)；i＝1,...,S₂}中有放回地抽取S₂个样本，记为

步骤S604：利用样本并结合一元异方差回归分析，得到这组样本下概率-应变-疲劳寿命模型中的模型参数及相对应的概率-应变-疲劳寿命模型；利用样本并结合二元异方差回归分析，得到这组样本下概率-温度-应力-蠕变寿命模型中的模型参数及相对应的概率-温度-应力-蠕变寿命模型。

步骤S605：令k＝k+1，并返回步骤S603。当k>M(M表示预先设定好的Bootstrap样本组数)后，继续执行后面的步骤。

步骤S606：对于应变循环为x^*，保载应力为s^*，温度为T^*下通过上述M组重抽样样本下的寿命方程估计得到不同存活概率P下的M组疲劳寿命以及M组蠕变寿命，通过线性损伤累积理论相对应的M组蠕变-疲劳复合寿命，通过M组蠕变-疲劳复合寿命就可以进行统计推断，如置信区间。

表6中是通过步骤S500中得到的复合寿命样本计算得到了不同存活概率下的蠕变-疲劳复合寿命及相对应的等效飞行时间(一次飞行的时间是100min)。表7中是通过Bootstrap方法得到的涡轮叶片不同存活概率下蠕变-疲劳复合寿命估计的95％的置信区间。

表6：不同存活概率下的蠕变-疲劳复合寿命

表7：涡轮叶片不同存活概率下蠕变-疲劳复合寿命估计的95％置信区间

本领域技术人员在考虑说明书及实践这里公开的发明后，将容易想到本发明的其它实施方案。本申请旨在涵盖本发明的任何变型、用途或者适应性变化，这些变型、用途或者适应性变化遵循本发明的一般性原理并包括本发明未公开的本技术领域中的公知常识或惯用技术手段。说明书和实施例仅被视为示例性的，本发明的真正范围和精神由下面的权利要求指出。

应当理解的是，本发明并不局限于上面已经描述并在附图中示出的精确结构，并且可以在不脱离其范围进行各种修改和改变。本发明的范围仅由所附的权利要求来限制。