一种云mimo雷达目标检测概率的近似计算方法
技术领域
本发明涉及雷达
技术领域
，具体涉及一种云MIMO雷达目标检测概率的近似计算方法。背景技术
在云MIMO(Multiple Input Multiple Out)雷达中，从目标返回的信号由每个本地传感器接收，它们可以通过回程网络与融合中心(FC)通信。本地传感器数量可能很大，并且接收天线可能分布在没有可用有线回程网络的较大地理区域中，因此本地传感器通过无线网络与FC通信，并且接收器采集的样本通常在每个接收器被量化后再发送给FC，以减轻通信负担。
通常，量化输出都是离散值，但是对于某些特殊的量化器，例如均匀量化器，有时可以将输出建模为输入加上量化噪声的连续值。在文献1(A.Sripad and D.Snyder,“Anecessary and sufficient condition for quantization errors to be uniformand white,”IEEE Transactions on Acoustics,Speech,and Signal Processing,vol.25,no.5,pp.442–448,1977)中，给出了标量均匀量化器输出可建模为输入加上均匀白的量化噪声的充要条件，并指出当量化间隔足够小时，零均值高斯输入信号的量化误差可以近似为均匀分布的噪声。在文献2(S.Khalili,O.Simeone,and A.M.Haimovich,“Cloudradio-multistatic radar:joint optimization of code vector and backhaulquantization,”IEEE Signal Processing Letters,vol.22,no.4,pp.494–498,2015)和文献3(W.Jiang and A.M.Haimovich,“Joint optimization of waveform andquantization in spectral congestion conditions,”in 201852nd AsilomarConference on Signals,Systems,and Computers,pp.1894–1898,2018)中，将最佳矢量量化器的量化输出表示为输入矢量加高斯量化噪声矢量。高斯量化误差近似是引入了加性高斯噪声来讨论量化影响，即将量化输出建模为输入加上高斯噪声，从而使得输出仍旧是连续随机变量，更容易进一步进行理论分析。
目标检测作为雷达的关键功能之一，在文献4(S.Khalili,O.Simeone,andA.M.Haimovich,“Cloud radio-multistatic radar:joint optimization of codevector and backhaul quantization,”IEEESignal Processing Letters,vol.22,no.4,pp.494–498,April 2015)和文献5(S.Jeong,O.Simeone,A.Haimovich,and J.Kang,“Optimization ofmultistatic cloud radar with multiple-access wirelessbackhaul,”in 2015IEEE Radar Conference(RadarCon),May 2015,pp.1650–1655)中，针对具有单个发射器和多个接收器的云雷达，利用量化的接收信号研究了最大化检测性能的发射波形优化。在文献6(W.Jiang and A.M.Haimovich,“Waveform optimization incloud radar with spectral congestion constraints,”in 2019IEEE RadarConference(RadarConf),April 2019,pp.1–6)中，基于量化的接收信号研究了云雷达系统中优化雷达波形和中继增益以使平均互信息最大。在文献7(Z.Wang,Q.He,and R.S.Blum,“Sampling rate and bits per sample tradeofffor cloud MIMO radar targetdetection,”in 201927th European Signal Processing Conference(EUSIPCO),2019,pp.1–5)中，利用量化的接收信号得到了云MIMO雷达的检测性能，并提出了采样率和每个样本的比特率之间的折中。
由于云MIMO雷达中天线数目较多且距离一般相距甚远，所以本地接收机通过无线信道将数据传输给融合中心。然而无线资源越来越紧张，需要在本地接收器对数据进行量化后再传输到融合中心。但是基于量化的离散输出，往往很难得到闭式的检测性能。因此，在云MIMO雷达中讨论量化的近似输出并得到闭式的检测概率是十分必要的。在现有的大部分基于量化数据的分布式参数估计文献中，还没有关于均匀量化器的非零均值高斯输入时量化输出近似分布的详细讨论。
而且，在云MIMO雷达中现有的讨论都是基于量化接收信号的，但当接收样本较多时，也可能带来不可接受的通信负担，需在本地接收器对接收信号进行一定的压缩。因此，在云MIMO雷达中进一步讨论一些减轻通信负担的算法是十分有必要的。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是：提出一种云MIMO雷达目标检测概率的近似计算方法，减少接收器与融合中心之间的通信负担，并可以获得闭式的检测概率，以便后续进行理论分析和指导系统设计。
本发明解决上述技术问题采用的技术方案是：
一种云MIMO雷达目标检测概率的近似计算方法，包括以下步骤：
S1、云MIMO雷达通过接收机接收来自发射机的信号；
S2、计算接收机与发射机之间的各个路径的检测统计量；
S3、对检测统计量进行量化处理，获得量化结果，各接收机将量化数据传输给融合中心；
S4、确定H1假设和H0假设情况下，融合中心处的总检测统计量，其中，H1假设表示目标出现，H0假设表示目标未出现；
S5、计算H1假设和H0假设情况下，融合中心处的总检测统计量的概率分布函数；
S6、计算目标检测概率；
S7、针对量化间隔为Δ的均匀量化器，计算当Δ→0时均匀量化器输出结果的特征函数以及概率密度函数；
S8、确定当Δ→0时云MIMO雷达中采用均匀量化器输出量化结果的近似概率密度函数；
S9、确定总检测统计量的近似分布，获得量化近似情况下的检测门限，根据所述量化近似情况下的检测门限计算近似的目标检测概率。
作为进一步优化，步骤S1具体包括：
云MIMO雷达kTs时刻第n个接收机接收到来自第m个发射机的信号rnm[k]为
其中，第m个发射机在kTs时刻的采样值为E是发射总能量，Ts为采样间隔，k是采样序号,k＝1,…,K，K为总的样本个数，fs为采样率，为确定已知的目标反射系数；τnm，fnm表示对应于第n个接收机接收到第m个发射机信号路径的时延和多普勒频率，wnm[k]是第n个接收机接收到第m个发射机信号路径的噪声，且()*表示复数的共轭，δ(k-k′)为狄拉克函数，k＝k'时函数取值为1，其他情况为0，k和k′代表的是采样时刻；M表示发射机的总个数；sm表示第m个发射机的发射信号，表示噪声wnm[k]的方差。
作为进一步优化，步骤S2具体包括：
第nm个传输路径的检测统计量Tnm计算如下：
其中n＝1,…,N，m＝1,…,M，N和M表示接收机和发射机的总个数，Re{·}表示对一个复数取实部。
作为进一步优化，步骤S3具体包括：
对检测统计量Tnm进行量化处理，得到量化后的结果qnm为
其中表示对一个实数的量化操作；
其中D＝2b是量化总数，b是量化比特数，γ0,…,γD为量化器门限屏；
将第n个接收器量化后的结果排为列向量
其中上标表示转置；
所有接收器将量化后的数据传送到融合中心，则融合中心收到的数据为
作为进一步优化，步骤S4具体包括：
在H1假设和H0假设的情况下，融合中心处的总检测统计量为：
其中，α是由虚警门限PFA确定的检测门限，T∈{0,1，…，NM(D-1)}，sum(y)表示对向量y的所有元素求和。
作为进一步优化，步骤S5具体包括：
计算H1和H0假设下qnm的条件概率分布函数为：
其中，d＝1,…,D-1为可能的量化结果， 表示在Hi，i＝0,1假设下事件发生的概率，Q(·)表示标准高斯分布的累积分布函数，定义为
计算H1和H0假设下融合中心处总的检测统计量T的概率分布函数为：
其中，z∈{0,1，…，NM(D-1)}，znm∈{0,1，…，(D-1)}，n＝1,…,N,m＝1,…,M。
作为进一步优化，步骤S6具体包括：
根据以下公式计算检测概率：
其中，α是由虚警门限PFA确定的检测门限，
作为进一步优化，步骤S7具体包括：
针对量化间隔为Δ的均匀量化器，量化器输入为均值μ方差σ2的高斯信号x时，
当Δ/σ→0时量化误差ε＝q-x的近似概率密度函数为
其中q为量化器的输出结果；
根据下式得到当Δ→0时均匀量化器输出q的特征函数：
其中，为量化误差ε的特征函数，为量化器的输入x的特征函数；
根据下式得到当Δ→0时均匀量化器输出q的概率密度函数：
作为进一步优化，步骤S8具体包括：
计算获得当Δ→0时云MIMO雷达中采用均匀量化器时量化器输出qnm的近似概率密度函数：
其中
作为进一步优化，步骤S9具体包括：
计算得到检测统计量T的近似分布为：
其中
量化近似情况下的检测门限为：
其中PFA为虚警概率，Q-1(·)为Q(·)的反函数；
根据下式得到近似的检测概率为：
本发明的有益效果是：
由于在本地传感器首先计算得到检测统计量以减少需要传输的样本，可大大降低通信负担，更利于工程实现。且可以得到闭式的检测概率，更方便进行后续的理论分析和系统设计，可在实际应用中指导系统设计。
附图说明
图1为本发明的云MIMO雷达目标检测概率的近似计算方法流程图；
图2为实施例中接收机和发射机数量分别为N＝4和M＝8时的系统参数设置图；
图3为实施例中不同量化比特下检测概率PD随虚警概率PFA变化的示意图。
具体实施方式
为了方便描述，首先进行如下定义：
为转置，()H为共轭转置，()*表示复数的共轭，表示数学期望，Re{·}表示对一个复数取实部。
在云MIMO雷达中，采用空间分置的M个发射机和N个接收机，在笛卡尔坐标系中，第m(m＝1,…,M)个发射天线和第n(n＝1,…,N)个接收天线分别位于和第m个发射机在kTs时刻的采样值为E是发射总能量，Ts为采样间隔，k(k＝1,…,K)是采样序号，K为总的样本个数，fs为采样率，假设不同发射机的发射信号是正交的。假设存在目标时，目标位于(x,y)，运动速度为(vx,vy)，所以在kTs时刻第n个接收机接收到第m个发射机的信号为，
其中噪声wnm[k]假定为零均值的复高斯白噪声，且对不同的采样点k和k′有为简化分析，假定发射系数是确定已知参数。τnm表示与第nm条路径相关的延时，fnm表示与第nm条路径相关的接收信号多普勒频移。
将接收机n接收到的来自发射机m的所有时间样本信号排为向量rnm
其中，
将所有接收机收到的样本信号排为向量r
其中，
在H1假设(目标出现在测试单元中)和H0假设(目标不存在)下，集中式处理的检测问题为：
因此，可以得到两种假设下接收信号r的概率密度函数为
进一步可得到对数似然比为
根据NP准则，在集中式处理下的最优检测器为
其中αO是由虚警门限PFA,O确定的检测门限，
表示均值为μ方差为σ2的高斯分布。
在云MIMO雷达系统中，本地传感器通过通信回路将本地数据发送到融合中心。然后，融合中心对接收到的数据进行处理，完成目标检测。为了减少通信负担，本地数据在发送到融合中心之前需要进行量化处理。因此，式(7)中用于集中处理的最优检测器是不可能实现的，从(7)式中，我们看到最佳检测器计算了每个发射到接收路径的检测统计量Tnm，对于m＝1,…,M在本地接收器n计算和量化Tnm是合理的。量化的检测统计量被发送到融合中心，如式(7)所示，在融合中心将所有的检测统计量相加并与阈值进行比较，以做出最终决定，即在融合中心用量化的检测统计量替代(7)式中原始Tnm，这种方法可以大大地降低通信负担。
在具体实施上，如图1所示，本发明中采用如下步骤来计算基于量化检测统计量的云MIMO雷达的近似检测性能：
S1、云MIMO雷达通过接收机接收来自发射机的信号；
本步骤中，云MIMO雷达kTs时刻第n个接收机接收到来自第m个发射机的信号rnm[k]为
其中第m个发射机在kTs时刻的采样值为E是发射总能量，Ts为采样间隔，k是采样序号,k＝1,…,K，K为总的样本个数，fs为采样率，为确定已知的目标反射系数；τnm，fnm表示对应于第n个接收机接收到第m个发射机信号路径的时延和多普勒频率，wnm[k]是第n个接收机接收到第m个发射机信号路径的噪声，且()*表示复数的共轭，δ(k-k′)为狄拉克函数，k＝k'时函数取值为1，其他情况为0，k和k′代表的是采样时刻；M表示发射机的总个数；sm表示第m个发射机的发射信号，表示噪声wnm[k]的方差。
S2、计算接收机与发射机之间的各个路径的检测统计量；
本步骤中，计算第nm个传输路径的检测统计量Tnm，
其中n＝1,…,N，m＝1,…,M，N和M表示接收机和发射机的总个数，Re{·}表示对一个复数取实部。
S3、对检测统计量进行量化处理，获得量化结果，各接收机将量化数据传输给融合中心；本步骤中，对检测统计量Tnm进行量化处理，得到量化后的结果qnm为
其中表示对一个实数的量化操作，为
其中D＝2b是量化总数，b是量化比特数，γ0,…,γD为量化器门限；
将第n个接收器量化后的结果排为列向量：
其中上标表示转置。
所有接收器将量化后的数据传送到融合中心，则融合中心收到的数据为
S4、确定H1假设和H0假设情况下，融合中心处的总检测统计量：
本步骤中，得到在假设目标出现在测试单元中为H1和假设目标不存在为H0的情况下，融合中心处的检测问题为
其中，α是由虚警门限PFA确定的检测门限，T∈{0,1，…，NM(D-1)}，sum(y)表示对向量y的所有元素求和。
S5、计算H1假设和H0假设情况下，融合中心处的总检测统计量的概率分布函数；
本步骤中，计算H1和H0假设下qnm的条件概率分布函数为
其中，d＝1,…,D-1为可能的量化结果， 表示在Hi，i＝0,1假设下事件发生的概率，Q(·)表示标准高斯分布的累积分布函数，定义为
计算H1和H0假设下融合中心处总的检测统计量T的概率分布函数为
其中z∈{0,1，…，NM(D-1)}，znm∈{0,1，…，(D-1)}，n＝1,…,N,m＝1,…,M。
S6、计算目标检测概率；
本步骤中，根据以下公式计算检测概率
其中α是由虚警门限PFA确定的检测门限，
S7、针对量化间隔为Δ的均匀量化器，计算当Δ→0时均匀量化器输出结果的特征函数以及概率密度函数；
本步骤中，针对量化间隔为Δ的均匀量化器，量化器输入为均值μ方差σ2的高斯信号x时，
当Δ/σ→0时量化误差ε＝q-x的近似概率密度函数为：
其中q为量化器的输出结果。
根据下式得到当Δ→0时均匀量化器输出q的特征函数：
其中为量化误差ε的特征函数，为量化器的输入x的特征函数。
根据下式得到当Δ→0时均匀量化器输出q的概率密度函数：
S8、确定当Δ→0时云MIMO雷达中采用均匀量化器输出量化结果的近似概率密度函数；
本步骤中，利用步骤S7的结果可得到当Δ→0时云MIMO雷达中采用均匀量化器时量化器输出qnm的近似概率密度函数为：
其中
S9、确定总检测统计量的近似分布，获得量化近似情况下的检测门限，根据所述量化近似情况下的检测门限计算近似的目标检测概率。
本步骤中，得到检测统计量T的近似分布为：
其中
得到量化近似情况下的检测门限为：
其中PFA为虚警概率，Q-1(·)为Q(·)的反函数，
根据下式得到近似的检测概率为：
本发明的上述云MIMO雷达目标检测概率的近似计算方法的工作原理如下：
在云MIMO雷达中，在H1假设(目标出现在测试单元中)和H0假设(目标不存在)下，集中式处理的检测问题为
因此，可以得到两种假设下接收信号r的概率密度函数为
进一步可得到对数似然比为
根据NP准则，在集中式处理下的最优检测器为
其中αO是由虚警门限PFA,O确定的检测门限，
在云MIMO雷达系统中，本地传感器通过通信回路将本地数据发送到融合中心。然后，融合中心对接收到的数据进行处理，完成目标检测。为了减少通信负担，本地数据在发送到融合中心之前需要进行量化处理。因此，基于(7)式，我们可在本地传感器计算每个发射到接收路径的检测统计量Tnm，并将Tnm量化后发送到融合中心。为了简化分析，假设本地接收机到融合中心的通信回路是理想的，如(7)式所示，在融合中心可将所有量化后的检测统计量相加并与阈值进行比较，以做出最终决定。因此，在融合中心处的检测问题变为
其中α是由虚警门限PFA确定的检测门限。
根据检测统计量的分布，可得到H1和H0假设下qnm的条件概率分布函数为
进一步可得到两种假设下融合中心处总的检测统计量T的概率分布函数为
其中z∈{0,1，…，NM(D-1)}，znm∈{0,1，…，(D-1)}，n＝1,…,N,m＝1,…,M。
因此，检测概率为
其中α是由虚警门限PFA确定的检测门限，
由(12)式可看出，当我们将Tnm输入到量化器，量化输出结果是一个离散随机变量，这使得它难以获得检测概率的闭式表达式。因此，我们接下来讨论量化器输出的近似概率分布，并使用该近似分布来获得封闭形式的检测概率。
假设采用量化间隔为Δ的均匀量化器，量化器输入为均值μ方差σ2的高斯信号x，根据文献(A.Sripad and D.Snyder,“Anecessary and sufficient condition forquantization errors to be uniform and white,”IEEE Transactions on Acoustics,Speech,and Signal Processing,vol.25,no.5,pp.442–448,Oct 1977),量化器的输出q可以被建模为输入和量化误差ε的和，因此
ε＝q-x (36)
其中，
据此可以得到量化误差ε的累积分布函数为
根据累积分布函数，可得到量化误差ε的概率密度函数为
定义函数g(ε)为
并将g(ε)从区间ε∈[-Δ/2,Δ/2]周期扩展到ε∈[-∞,∞]，则扩展后的周期为Δ的函数可用傅里叶级数表示为
其中为傅里叶级数，表示为
其中表示输入x的特征函数。将(42)式带入(41)式中可得
将(43)式和(40)式带入(39)式中可得量化误差ε的概率密度函数为
由于输入x为值μ方差σ2的高斯信号，则x的特征函数为
将(45)式带入(44)式中可得量化误差ε的概率密度函数为
根据(46)式，量化误差ε的均值和方差分别为
和
从(46)式可以看出，其中的第二项
类似地，(48)式中的第二项满足
接下来我们分析当Δ/σ→0时，(49)和(50)式右端的项的取值。由于指数和是非负的，因此
进一步可得
其中，当Δ/σ→0时
根据(51)，(52)和(53)式可得，当Δ/σ→0
当Δ/σ→0时，根据(49)，(59)和(54)式可将式(46)和(48)式结果简化为
和
E[ε2]＝Δ2/12 (56)
因此，只要Δ/σ足够小，量化误差ε可近似服从概率密度函数为(55)式的均匀分布。
由于量化器输出q＝x+ε可表示为高斯输入和均匀分布的量化误差的和，根据文献(M.Bertocco,C.Narduzzi,P.Paglierani,and D.Petri,“A noise model for digitizeddata,”IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,vol.49,no.1,pp.83–86,Feb 2000)可得输入和量化误差是相互独立的。因此，量化器输出q的特征函数可写为
其中为量化误差ε的特征函数，为量化器的输入x的特征函数。当Δ→0时，利用泰勒级数展开可得
因此，当Δ→0时，我们可以得到
将(60)式带入(57)式中可知，当Δ→0时，q的特征函数满足
随着Δ趋近于0，q的特征函数φq(t)逐渐趋近于φ(t)，根据文献(B.V.GnedenkoandA.N.Kolmogorov,“Limit distributions for sums of independent randomvariables,”IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,ser.Addison-Wesley Mathematics Series.Cambridge,MA:Addison-Wesley,1954)可知，特征函数φq(t)对应的概率密度函数收敛到特征函数φ(t)对应的概率密度函数。因此，可以得到，当Δ→0时均匀量化器输出q的概率密度函数可近似为
利用公式(62)的结果可得当Δ→0时云MIMO雷达中采用均匀量化器时量化器输出qnm的近似概率密度函数为
其中进一步可得到检测统计量T的近似分布为
其中
利用(64)式的近似分布，可得到(32)式中检测问题的检测门限为
其中PFA为虚警概率，Q-1(·)为Q(·)的反函数，
因此，近似的检测概率为
实施例：
本实施例中，假设云MIMO雷达系统有M＝8个发射机和N＝4个接收机，其天线位置如图2所示，假设检测目标位于(150,130)m处的以(25,20)m/s的速度移动。仿真中发射信号为频率扩展高斯单脉冲信号取T＝0.01s，Δf＝150Hz，fs＝600Hz。
定义且设置噪声方差为SNR＝-5dB。
图3绘制了基于不同量化比特数b下的检测概率PD与虚警概率PFA的关系图。图中将最优的集中式处理的结果用unquantized标注以衡量量化系统的检测性能，将步骤S6得到的基于离散量化输出分析的结果用direct标注，将步骤S9中量化输出用高斯近似表示后的近似结果用approx标注。从图中可以看出，随着b的增加量化间隔逐渐减小，量化输出采用高斯近似得到的相应曲线逐渐接近直接分析量化输出得到的曲线，当b不小于2时，近似的结果几乎与直接分析时的结果相同。因此，当量化比特足够大时，高斯近似得到的近似检测概率几乎与真实的检测概率相同。当量化位数b大于5时，量化性能几乎与未量化时的性能一致，说明此时量化的性能损失几乎可忽略。
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