Ac双转台五轴机床的位置无关几何误差建模和辨识方法
技术领域
本发明涉及五轴机床的标定
技术领域
，特别是一种AC双转台五轴机床的位置无关几何误差建模和辨识方法。背景技术
相较于三轴机床，五轴机床增加了两个旋转轴，使得机床的刀具能够以任意姿态对复杂零件的曲面进行加工，显著地提高了零件的加工效率。然而，在几何误差的影响下，五轴机床加工精度大大降低，这一定程度上制约了其在高端制造业的应用。
标定技术被公认是有效提高机床加工精度的方法。标定的四个步骤分别为建模，测量，辨识和补偿，而其中误差建模和辨识是误差补偿的前提。
通常来说，机床的几何误差分为位置无关几何误差(PIGEs)和位置相关几何误差(PDGEs)。研究证明，PDGEs相对于PIGEs来说是比较小的。
现阶段，针对PIGEs的误差建模和辨识方法有以下问题：传统的几何误差建模方法有多体系统理论，齐次变换矩阵(HTM)，D-H模型等，前两种存在着不容易实现参数化建模，误差辨识过程非常繁琐的问题，而D-H模型会出现两运动轴接近平行时的奇异问题，通用性差。近几年提出的基于全局指数积公式的误差建模方法，每次迭代的正交化和归一化会带来计算误差，降低了求解效率。另一方面，误差辨识过程大部分使用的是高斯牛顿法，但是该方法鲁棒性较差，可能会出现在大噪声数据下误差无法迭代收敛的问题。
公开号为CN112518422A的说明书公开了一种五轴AC转摆头龙门机床几何误差建模及分离方法，首先建立机床从刀具坐标系到工件坐标系的运动学模型，再分别建立仅考虑直线轴、仅考虑旋转轴以及同时考虑直线轴和旋转轴的刀尖点空间误差模型，然后设计直线轴空间测量轨迹，测量刀尖点在测量轨迹下的实际空间坐标，进而实现直线轴21项几何误差的分离计算；最后设计A、C轴独立的测量轨迹，测得轴向、径向、切向模式下全行程的杆长变化量，建立8项PIGE误差敏感方向与杆长变化量的相互关系，实现8项PIGE误差的分离；再建立12项PDGE误差与球杆仪杆长变化量的相互关系，实现12项PDGE误差的分离。
公开号为CN112558547A的说明书公开了一种五轴数控机床平动轴几何误差补偿数据快速优化方法，包括以下步骤：1)建立空间定位误差模型；2)建立误差数据库；3)构建空间误差补偿表；4)建立补偿数据优化模型，形成平动轴联动模式下的三条面对角线、一条体对角线优化模型；5)完成修正系数的迭代优化及选择；6)以步骤(5)完成对五轴数控机床几何误差的补偿；7)迭代误差修正数据至几何误差数据库，并设置联动轨迹检测，预设定位误差阈值，循环步骤2至6，实现周期性检测、优化、补偿的机床精度保障模式。
发明内容
本发明的发明目的在于提供一种AC双转台五轴机床的位置无关几何误差建模方法，该方法将移动轴和转动轴统一用关节旋量描述，避免奇异问题，提高几何误差模型的通用性。
一种AC双转台五轴机床的位置无关几何误差建模方法，包括以下步骤：
(1)基于局部指数积公式，建立五轴机床通用正向名义运动学模型；
(2)将步骤(1)得到的通用正向名义运动学模型应用于AC双转台五轴机床的正向名义运动学建模；
(3)由AC双转台五轴机床的正向名义运动学模型计算全位姿误差模型，并对全位姿误差模型进行简化；
(4)根据球杆仪测量的距离误差，得到基于距离误差信息的AC双转台五轴机床的位置无关几何误差模型。
确定每个局部坐标系的初始位姿。允许局部坐标系定义在相应连杆的任意位置以最简化其初始位姿变换矩阵。当五轴机床处于零位时，首先定义所有的局部坐标系的方向相同，然后将刀尖点定义为机床坐标系的原点，同时设定工件坐标系和刀具坐标系重合，X轴、Y轴和Z轴的坐标系在零位时和机床坐标系重合，A轴、C轴坐标系和机床坐标系的相对位置通过千分尺测量，则初始位姿变化矩阵均可表示为旋量的形式。
所述步骤(1)中，建立五轴机床通用正向名义运动学模型的具体步骤如下：
(1-1)串联机床由n+1根连杆组成，引入两相邻坐标系的初始位姿变换旋量Ti-1，i(0)用指数映射的形式表示为基于局部指数积公式，串联机床的运动学模型T0，n+1为：
其中，为两相邻坐标系的初始位姿变换旋量；和分别为串联机床的运动学模型中第i个关节处的关节旋量和关节位移；ξ1、ξ2、…、ξn分别为第1，2，…，n个关节旋量，θ1、θ2、…θn分别为第1，2，…，n个关节位移。
(1-2)以五轴机床坐标系为基坐标系，在工作台的工件支链中有m个关节，主轴刀具支链中有n个关节，得到五轴机床的工件坐标系相对于基坐标系的齐次坐标转换矩阵Tb，w为：
其中：m+n＝5，(i＝1，2，…，m+1)表示在工件坐标系一侧的串联机床中两相邻坐标系的初始位姿变换，和分别为工件坐标系中位于工件链端的第i个关节处的关节旋量和第i个关节位移；
(1-2)以五轴机床坐标系为基坐标系，在工作台的工件支链中有m个关节，主轴刀具支链中有n个关节，得到五轴机床的工件坐标系相对于基坐标系的齐次坐标转换矩阵Tb，w为：
m+n＝5，
其中，(j＝1，2，…，m+1)表示在工件坐标系一侧的串联机床中两相邻坐标系的初始位姿变换，和分别为位于工件链端的第j(j＝1，2，…，m)个关节处的关节旋量和关节位移；
(1-3)五轴机床的刀具坐标系相对于基坐标系的转换矩阵Tb，t为：
其中，和分别为位于刀具坐标系中工件链端的第i个关节旋量和第i个关节位移；
(1-4)基坐标系相对于工件坐标系的齐次坐标变换Tw，b为：
(1-5)五轴机床的刀具坐标系相对于工件坐标系的正向名义运动学模型Tw，t为：
所述步骤(2)中，将步骤(1)得到的通用正向名义运动学模型应用于AC双转台五轴机床的正向名义运动学建模，得到AC双转台五轴机床的正向名义运动学模型Tw，t为：
其中，分别表示各个局部坐标系之间的名义的初始位姿旋量，ξa、ξc、ξx、ξy、ξz分别为A、C转动轴和X、Y、Z移动轴的名义关节旋量，θc、θa、θy、θx、θz为五个电机的驱动命令。
所述步骤(3)中，由AC双转台五轴机床的正向名义运动学模型计算全位姿误差模型，并对全位姿误差模型进行简化，其具体步骤如下：
(3-1)由于正向运动学模型Tw，t是关于初始位姿关节旋量ξ和关节位移θ的函数，用数学方式表示，即为Tw，t＝f(p，ξ，θ)，通过对初始位姿向量p，关节旋量ξ，关节位移θ微分得到全位姿误差模型：
其中，δTw，t·Tw，t -1表示五轴机床的刀具位姿误差；
(3-2)基于运动学误差均集中于各个局部坐标系之间的初始位姿矩阵中，关节位移和关节旋量在标定过程中保持为名义值的假设，全位姿信息的误差模型简化为，
所述运动学误差均集中于各个局部坐标系之间的初始位姿矩阵中，关节位移和关节旋量在标定过程中保持为名义值的假设具体公开于Local POE model for robotkinematic calibration[J].Mechanism and Machine Theory，2001，36(11-12)：1215-1239。
所述步骤(4)中，根据球杆仪测量的距离误差，得到基于距离误差信息的AC双转台五轴机床的位置无关几何误差模型，其具体步骤如下：
(4-1)五轴机床全位姿信息的误差模型采用线性化方程表示为：
y＝J·x
y＝(δTw，t·Tw，t -1)V＝log(Twt aTwt -1)∨∈R6×1，
其中，∨为把矩阵映射转化为一个6维的向量，表示待辨识的误差参数，Tw，t a为实际测量的刀具末端位姿矩阵，y为刀具的位姿误差向量，J为雅可比矩阵，x为位置无关几何误差参数向量；
(4-2)Pw和Pt分别是机床刀尖点相对于工件坐标系和刀具坐标系的位置坐标之间的转换关系如下：
其中，Pw和Pt分别为机床刀尖点相对于工件坐标系和刀具坐标系的位置坐标；
(4-3)AC双转台五轴机床刀尖点的三维坐标的位置变化投影到球杆仪的轴向上，并和球杆仪读数的变化保持一致：
yb＝[Obi Obj Obk]·δPw
其中，yb为球杆仪线性传感器的读数的变化，[Obi Obj Obk]为球杆仪在名义运动学模型中的单位方向向量；
(4-4)计算基于球杆仪测量距离变化的雅克比矩阵Jb和需辨识的位置无关几何误差参数x，得到基于距离误差信息的AC双转台五轴机床的位置无关几何误差模型：
yb＝Jb·x
其中，
本发明的发明目的在于还提供一种基于AC双转台五轴机床的位置无关几何误差建模的误差辨识方法，采用带阻尼因子的迭代最小二乘法辨识位置无关几何误差参数，提高误差辨识过程的鲁棒性。
一种AC双转台五轴机床的位置无关几何误差辨识方法，所述的位置无关几何误差辨识方法基于所述的AC双转台五轴机床的位置无关几何误差建模，包括以下步骤：
(I)根据球杆仪测量的轨迹点，扩展AC双转台五轴机床的位置无关几何误差模型；
(II)采用带阻尼因子的迭代最小二乘法来辨识误差模型中的位置无关几何误差参数；
(III)使用位置无关几何误差参数更新五轴机床的初始位姿变换矩阵，并重复迭代直到误差向量的模小于设定值，辨识得到AC双转台五轴机床的位置无关几何误差。
运动学误差辨识的目的就在于找到适合的误差参数使建立的基于球杆仪测量距离信息的误差模型的最小二乘值最小。考虑到误差参数的辨识过程是弱非线性的，在一般情况下，采用高斯-牛顿法就可以取得较好的辨识效果。但是，如果实际的测量误差数据的噪声过大，可能导致误差辨识过程不收敛的情况，故提出带阻尼因子的迭代最小二乘法来辨识误差模型中的位置无关几何误差参数x。
所述步骤(I)中，根据球杆仪测量的轨迹点，扩展基于距离误差的线性化方程的具体步骤如下：
(I-I)对于AC双转台五轴机床机床，从机床基坐标系到工件坐标系的运动学开链有(m+1)个连杆，从机床基坐标系到刀具坐标系的运动学开链有(n+1)个连杆，为完成五轴数控机床的位置无关几何误差参数x的辨识，球杆仪测量的轨迹点的数目k为：
k＞6(m+1)+6(n+1)；
(I-II)根据球杆仪测量的轨迹点的数目，扩展基于距离误差的位置无关几何误差模型为：
其中，
为k组球杆仪距离误差数据yb组成的向量，为k组雅克比矩阵Jb组成的矩阵。
所述步骤(II)中，采用带阻尼因子的迭代最小二乘法来辨识误差模型中的位置无关几何误差参数x：
其中，μ是阻尼因子。
优选地，在理想情况或者小噪声情况下，设置阻尼因子μ＝0以提高误差辨识精度，在大噪声数据下，则可设置一个较小的数值(0.0001～1)以提高算法的鲁棒性。
(III)使用位置无关几何误差参数更新五轴机床的初始位姿变换矩阵，辨识得到AC双转台五轴机床的位置无关几何误差，其具体步骤如下：
(III-I)使用辨识出的位置无关几何误差参数来更新初始位姿变换矩阵：
其中，为更新前的初始位姿变换矩阵，为更新后的初始位姿变换矩阵，当驱动电机在工作台侧时，si＝-1，当驱动电机在主轴侧时，si＝1，
(III-II)步骤(III-I)重复迭代至误差向量的模||yb||小于设定微小值ε，辨识AC双转台五轴机床的位置无关几何误差。
本发明相比现有技术，其优点在于：
1、本发明提出的基于局部指数积公式的位置无关几何误差建模方法，统一将旋转轴和移动轴表示在关节旋量中，运动学参数的平滑变化能避免矩阵奇异，通用性好。
2、本发明提出的带阻尼因子的最小二乘法的位置无关几何误差辨识方法，保证了算法在大噪声数据下的稳定性。
3、本发明辨识位置无关几何误差只需测试一次五轴联动轨迹，辨识效率高，对快速完成五轴机床的标定具有重要意义。
附图说明
图1是本发明实施例中AC双转台五轴机床的结构示意图；
图2是本发明实施例中基于局部指数积公式的AC双转台五轴机床误差辨识流程图；
图3是本发明实施例中AC双转台五轴机床零位时各局部坐标系的位置分布示意图；
图4是发明实施例中误差辨识时刀尖测试轨迹的示意图；
图5是发明实施例中误差辨识时平均距离误差迭代收敛过程的示意图；
图6是发明实施例中标定后的运动学模型预测的距离误差示意图。
具体实施方式
以图1所示五轴机床为例，AC双转台五轴机床的位置无关几何误差建模和辨识方法，如图2所示，包括：
AC双转台五轴机床的位置无关几何误差建模，包括以下步骤：
(1)基于局部指数积公式，建立五轴机床通用正向名义运动学模型，其具体步骤如下：
(1-1)串联机床由n+1根连杆组成，引入两相邻坐标系的初始位姿变换旋量Ti-1，i(0)用指数映射的形式表示为基于局部指数积公式，串联机床的运动学模型T0，n+1为：
其中，为两相邻坐标系的初始位姿变换旋量；和分别为串联机床的运动学模型中第i个关节处的关节旋量和关节位移；ξ1、ξ2、…、ξn分别为第1，2，…，n个关节旋量，θ1、θ2、…θn分别为第1，2，…，n个关节位移。
(1-2)以五轴机床坐标系为基坐标系，在工作台的工件支链中有m个关节，主轴刀具支链中有n个关节，得到五轴机床的工件坐标系相对于基坐标系的齐次坐标转换矩阵Tb，w为：
m+n＝5，
其中，(j＝1，2，…，m+1)表示在工件坐标系一侧的串联机床中两相邻坐标系的初始位姿变换，和分别为位于工件链端的第j(j＝1，2，…，m)个关节处的关节旋量和关节位移。
(1-3)五轴机床的刀具坐标系相对于基坐标系的转换矩阵Tb，t为：
其中，和分别为位于刀具坐标系中工件链端的第i个关节旋量和第i个关节位移。
(1-4)五轴机床的基坐标系相对于工件坐标系的齐次坐标变换Tw，b为：
(1-5)任意类型的五轴机床的刀具坐标系相对于工件坐标系的通用正向名义运动学模型Tw，t为：
(2)基于机床坐标系下的五个电机驱动位移，将步骤(1)得到的通用正向名义运动学模型应用于AC双转台五轴机床的正向名义运动学建模，则AC双转台五轴机床的正向名义运动学模型Tw，t为：
其中，分别表示各个局部坐标系之间的名义的初始位姿旋量，ξa、ξc、ξx、ξy、ξz分别为A、C转动轴和X、Y、Z移动轴的名义关节旋量，θc、θa、θy、θx、θz为五个电机的驱动命令。
(3)由AC双转台五轴机床的正向名义运动学模型计算全位姿误差模型，并对全位姿误差模型进行简化，其具体步骤如下：
(3-1)由于正向运动学模型Tw，t是关于初始位姿关节旋量ξ和关节位移θ的函数，用数学方式表示，即为Tw，t＝f(p，ξ，θ)。通过对初始位姿向量p、关节旋量ξ和关节位移θ微分得到全位姿误差模型：
其中，δTw，t·Tw，t -1表示AC双转台五轴机床的刀具位姿误差。
(3-2)基于运动学误差集中于局部坐标系的初始位姿矩阵中，关节位移和关节旋量在标定过程中保持为名义值的假设，全位姿信息的误差模型简化为：
运动学误差集中于局部坐标系的初始位姿矩阵中，关节位移和关节旋量在标定过程中保持为名义值的假设具体公开于Local POE model for robot kinematiccalibration[J].Mechanism and Machine Theory，2001，36(11-12)：1215-1239。
(4)根据球杆仪测量的距离误差，得到基于距离误差信息的AC双转台五轴机床的位置无关几何误差模型，其具体步骤如下：
(4-1)对于任意一个变换矩阵和旋量是一个旋量，可用坐标表示为其中：
SE(3)为特殊欧几里得群，R为特殊正交群，p为位置向量，se(3)为特殊欧几里得群SE(3)的李代数，得到：
故AC双转台五轴机床全位姿信息的误差模型表示为：
其中，∨为把矩阵映射转化为一个6维的向量，表示待辨识的位置无关几何误差参数。
左边的全位姿误差模型转化为矩阵对数形式，右边转化为矩阵相乘的形式，即：
其中，Tw，t a为实际测量的刀具末端位姿矩阵；
AC双转台五轴机床的全位姿误差模型采用线性化方程表示为：
y＝J·x
其中，y为刀具的位姿误差向量，J为雅可比矩阵，x为位置无关几何误差参数向量。
(4-2)基于6维信息的误差辨识理论上可行，但是实际上AC双转台五轴机床刀具的姿态信息很难获得。数控机床工厂一般采用测量五轴机床动态精度的球杆仪，球杆仪只能测量出沿球杆方向的距离变化。因此，需要进一步推导成基于球杆仪测量距离误差的误差模型。
机床刀尖点相对于工件坐标系和刀具坐标系的位置坐标之间的转换关系如下：
其中，Pw和Pt分别为机床刀尖点相对于工件坐标系和刀具坐标系的位置坐标；
由于在刀具坐标系下，Pt＝[0 0 0]T，δPt＝[0 0 0]T，对上式进行微分得：
由于(δTw，tTw，t -1)∈se(3)，写成旋量的形式，即上式转化为：
局部坐标系可以定义在相应连杆的任意位置以最简化其初始位姿。
当AC双转台五轴机床处于零位时，首先定义所有的局部坐标系的方向相同，如图3所示；然后将刀尖点定义为机床坐标系的原点，同时设定工件坐标系和刀具坐标系重合，X、Y和Z轴的坐标系在零位和机床坐标系重合，最后A轴和C轴坐标系和机床坐标系的相对位置通过千分尺来测量，则初始位姿旋量可表示成旋量形式。
(4-3)AC双转台五轴机床的刀尖点的三维坐标的位置变化投影到球杆仪的轴向上，且与球杆仪读数的变化保持一致：
yb＝[Obi Obj Obk]·δPw
其中，yb是球杆仪线性传感器的读数的变化，[Obi Obj Obk]是球杆仪在正向名义运动学模型中的单位方向向量。
(4-4)基于球杆仪测量距离变化的位置无关几何误差模型可以线性化表示为：
yb＝Jb·x
其中，yb为球杆仪的距离变化，Jb为基于球杆仪测量距离变化的雅克比矩阵，x为需辨识的位置无关几何误差参数。
运动学误差辨识的目的就在于找到适合的误差参数使建立的基于球杆仪测量距离信息的误差模型的最小二乘值最小。考虑到误差参数的辨识过程是弱非线性的，在一般情况下，采用高斯-牛顿法就可以取得较好的辨识效果。但是，如果实际的测量误差数据的噪声过大，可能导致误差辨识过程不收敛的情况，故需带阻尼因子的迭代最小二乘法来辨识误差模型中的位置无关几何误差参数x。
本实施例采用高精度的QC20-W球杆仪，其被用来测量AC双转台五轴机床五轴联动运行时的距离变化。
在理想情况下，AC双转台五轴机床不存在误差，主轴端球和工件端球的距离将保持恒定；
由于实际的机床存在几何误差，使得球杆仪两端的球之间的距离将发生微小变化，该变化信息可以被球杆仪中的高精度伸缩式线性传感器捕捉，通过蓝牙传输，实时记录到电脑上的Ballbar Trace软件上。
基于AC双转台五轴机床的位置无关几何误差建模的误差辨识方法，包括以下步骤：
(I)根据球杆仪测量的轨迹点，扩展AC双转台五轴机床的位置无关几何误差模型，其具体步骤如下；
(I-I)对于AC双转台五轴机床机床，从机床基坐标系到工件坐标系的运动学开链有(m+1)个连杆，从机床基坐标系到刀具坐标系的运动学开链有(n+1)个连杆，为完成AC双转台五轴机床的位置无关几何误差参数x的辨识，球杆仪测量的轨迹点的数目k为：
k＞6(m+1)+6(n+1)
测试轨迹的NC代码参考雷尼绍官网提供的用于五轴机床动态精度测试的程序。该NC代码有7204组五轴电机驱动命令组成，将其代入名义正向运动学模型中，得到工件坐标系下刀尖点在笛卡尔空间的位置，位置点组成的轨迹如图4所示。
将NC代码导入数控系统，启动数控系统的RTCP功能，那么球杆仪就可测量出五轴机床在联动过程由于几何误差的存在而产生的距离变化数据。
(I-II)根据球杆仪测量的轨迹点的数目，扩展基于距离误差的AC双转台五轴机床的位置无关几何误差模型为：
其中，
表示k组球杆仪距离数据yb组成的向量，为k组雅克比矩阵Jb组成的矩阵。
(II)采用带阻尼因子的迭代最小二乘法来辨识误差模型中的位置无关几何误差参数x：
其中，μ是阻尼因子。
在理想情况或者小噪声情况下，设置阻尼因子μ＝0以提高误差辨识精度，在大噪声数据下，则设置一个较小的数值0.0001～1，以提高算法的鲁棒性。
(III)使用位置无关几何误差参数更新五轴机床的初始位姿变换矩阵，并重复迭代直到误差向量的模小于设定微小值，辨识得到AC双转台五轴机床的位置无关几何误差，其具体步骤如下：
(III-I)使用辨识出的位置无关几何误差参数来更新初始位姿变换矩阵：
其中，为更新前的初始位姿变换矩阵，为更新后的初始位姿变换矩阵，当驱动电机在工作台侧时，si＝-1，当驱动电机在主轴侧时，si＝1，
(III-II)步骤(III-I)重复迭代，如图2和5所示，直到实际测量的空间位置和每次迭代后运动学模型计算得到空间位置之差的模||yb||趋于稳定且小于设定微小值ε，输出AC双转台五轴机床的位置无关几何误差。
如图6所示，将更新后的初始变换矩阵代入AC双转台五轴机床正向名义运动学模型中可以得到标定的正向运动学模型，与名义正向运动学模型比较，进而可以预测距离误差数据，该数据与实际的球杆仪测量的距离误差对比，实际和预测的每个样本点距离误差曲线基本一致，从而进一步验证了提出的方法的有效性。
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