利用2d s-t光子晶体实现多频段拓扑角态的方法
技术领域
本发明涉及一种实现拓扑角态的简易方法，具体涉及一种利用二维Stampfli-Triangle(2D S-T)光子晶体实现多频段拓扑角态的方法。
背景技术
对于常规拓扑绝缘体，d维拓扑绝缘体一般存在d-1维拓扑边界态。然而，高阶拓扑绝缘体的发现提出了一种非常规的体-边对应关系：d维拓扑绝缘体出现了小于d-1维的无带隙拓扑边界态。其中，2D 2阶拓扑绝缘体产生零维拓扑边界态，又称之为拓扑角态。其出现拓宽了非平庸拓扑绝缘相族，在光学领域中为光学成像、光子局域及控制光波导传输提供了新思路。同时，光学拓扑角态因无需人为构造缺陷而为光学微腔的研究提供了一种简易方法，也将进一步为新型激光器等相关器件的研究提供新动力。
拓扑角态的研究主要集中于基于2D Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型的正方晶格、kagome晶格及蜂窝晶格结构。不同于具有平移对称性的上述传统晶格，2D光子准晶具有旋转对称性及长程有序性。已有研究表明光子准晶具有丰富的能带结构、局域模式及产生完全带隙的低介电常数阈值等特性，优于周期性光子晶体，但无法有效计算其能带结构，因此将2D光子准晶的基本结构单元周期化形成的光子晶体既能保留光子准晶的优势，又可得到准确的能带结构以便研究其中的高阶拓扑态。在光子系统中，高阶拓扑态的发展从最初认为的不易实现，到实现拓扑角态的类似现象，其后，拉伸、压缩光子晶体原胞晶格构建2DSSH模型并从理论及实验上实现二阶光子拓扑绝缘体成为常见方法。然而，目前并未在光子晶体中实现多频拓扑角态，极大地限制了其在多波段光子器件的应用，因此如何在同一个结构中同时实现不同频率的拓扑角态亟待研究。以Stampfli型光子准晶的基本结构单元三角晶格周期化形成的2D S-T光子晶体满足C6对称性，可实现光量子自旋霍尔效应，相较于其它具有C6对称性的结构，2D S-T光子晶体能带结构中极易出现宽频带特性，使其拓扑边界态与体态之间的带隙更大进而对拓扑角态的产生有更大的调整空间，为实现位置可变的拓扑角态提供可能。
发明内容
本发明的目的是提供一种利用2D S-T光子晶体实现多频段拓扑角态的方法，该方法不仅丰富了高阶拓扑态的研究，也为实现拓扑角态提供了更简易的方法。
本发明的目的是通过以下技术方案实现的：
一种利用2D S-T光子晶体实现多频段拓扑角态的方法，包括如下步骤：
步骤一、基于2D S-T光子晶体，改变其散射子直径大小，产生里大外小型Type I：里层7个散射子直径大于外层12个散射子直径、里外一致型Type II：里层7个散射子直径等于外层12个散射子直径、里小外大型Type III：里层7个散射子直径小于外层12个散射子直径三种不同类型的基本结构单元；
步骤二、调节Type I与Type III光子晶体直径大小至两种类型的光子晶体具有共同带隙后，将16个Type I光子晶体与16个Type III光子晶体以晶格常数为间距左右阵列组合，因两者共同带隙下具有不同的极化值将在投影能带中产生有带隙的拓扑边界态；或者两种Type I光子晶体或两种Type III光子晶体满足错位的带隙下最近邻的能带是Nontrivial与Trivial的组合情形且调节直径参数至具有共同带隙，也可在投影能带中产生拓扑边界态；
步骤三、为了进一步探索拓扑角态是否可由步骤二得到的拓扑边界态极化产生，设计外层Type I光子晶体包围里层Type III光子晶体的六边形箱形结构并求解其截断能带，在带隙中出现了不属于步骤二中投影能带的独立解，将这些解取其中几个代表点分析其电场，发现电场皆聚集在箱形结构内部的六个角落处，证明了两种不同机理的拓扑角态实现的可行性；
步骤四、验证拓扑角态是否可在现实中实现且是否可克服缺陷，以步骤三同样的排布方式在仿真中构建波导，波导的波源位于箱形结构六边形下边界中心处，同时引入缺陷验证角态的拓扑特性，发现六个角落处仍然存在电场，且对角落附近的缺陷具有免疫性，证明得到的角态是受拓扑保护的。
相比于现有技术，本发明具有如下优点：
本发明探究了2D S-T光子晶体的高阶拓扑态及其机理，研究发现，若使光子晶体部分能带发生次序交换后，所有的共同带隙中都将存在有间隙的拓扑边界态及拓扑角态，随后构建波导引入缺陷验证了其拓扑特性。此发明为首次在同一种光子晶体中实现了基于两种物理机理实现拓扑角态的方法，一种由光量子自旋霍尔效应引发，一种由拓扑界面态引发，且前者可改变拓扑角态的位置分布，后者可在同一结构实现不同频段的拓扑角态。此发现丰富了高阶拓扑态的研究，也为实现拓扑角态提供了更简易的方法。本发明的研究结果将对光学微腔、高品质因数激光器等相关光学集成器件的设计具有指导意义。
附图说明
图1为Stampfli型光子准晶。
图2为以Stampfli型光子准晶为基本结构单元按三角晶格排列的2D S-T光子晶体；包含三种不同类型的基本结构单元，其中Type I为内大外小型(d2/d1<1)；Type II为内外一致型(d2/d1＝1)；Type III为内小外大型(d2/d1>1)。
图3为2D S-T光子晶体的能带结构：(a)Type I：d1＝0.9R，d2＝0.4R；(b)Type II：d1＝d2＝0.6R；(c)Type III：d1＝0.1R，d2＝0.8R；Type I(d1＝0.3R，d2＝0.1R)与Type III(d1＝0.1R，d2＝0.34R)在不同频段的能带结构(含共同带隙但为不同次序能带之间的带隙，即错位的共同带隙)：(d)300-450THz；(e)400-550THz，内嵌图为布里渊区Γ及M点处对应的Ez场，圆点表示偶宇称，三角表示奇宇称。
图4为投影能带及边界态：(a)由Type I(d1＝0.9R，d2＝0.4R)与Type III(d1＝0.1R，d2＝0.8R)的2D S-T光子晶体组合结构中长条状超晶胞的投影能带；(b)由Type I(d1＝0.3R，d2＝0.1R)与Type III(d1＝0.1R，d2＝0.34R)的2D S-T光子晶体组合结构中长条状超晶胞在360-420THz及480-550THz的投影能带；(c)投影能带中A、B点对应的EZ场分布；(d)投影能带中C、D点对应的EZ场分布。
图5为箱形结构的截断能带及拓扑角态的模场分布：(a)Type I(d1＝0.9R，d2＝0.4R)与Type III(d1＝0.1R，d2＝0.8R)2D S-T光子晶体组合的箱形结构的解数量关系；(b)124.68THz角态的模场分布；(c)Type I(d1＝0.3R，d2＝0.1R)与Type III(d1＝0.1R，d2＝0.34R)2D S-T光子晶体组合的箱形结构中两个频段的解数量关系；(d)509.23THz(上图)及385.72THz(下图)角态的模场分布。
图6为角态的拓扑特性：(a)图4(a)结构加入左旋偏振波源(左)及右旋偏振波源(右)后无缺陷的模场分布；(b)图4(b)结构中加入线电流波源后克服缺陷的模场分布，包括A区域：加入杂质、B区域：去除部分散射子。
图7为平行四边形箱形结构中的拓扑角态：(a)加入509.23THz线电流；(b)加入385.72THz线电流；(c)加入123.48THz左旋偏振波源；(d)加入123.48THz右旋偏振波源。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的说明，但并不局限于此，凡是对本发明技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖在本发明的保护范围中。
本发明提供了一种利用2D S-T光子晶体实现多频段拓扑角态的方法，在保留时间反演对称性的条件下破坏空间反演对称性使光子晶体部分能带发生次序交换，将其与未发生能带次序交换但具有共同光子带隙的光子晶体组合，可在投影能带中产生有带隙的边界态，此现象满足高阶拓扑绝缘体的表现特征，并且可在2D S-T光子晶体中产生具有两种物理机理的拓扑角态，一种由量子自旋霍尔效应引发，一种由拓扑界面态引发。通过调节光子晶体内外散射子直径大小使界面处的C6对称性破缺变为C3对称性而产生拓扑态可被认定为2D SSH模型的推广。具体内容如下：
一、模型与理论
Stampfli型光子准晶及2D S-T光子晶体结构，如图1所示。Stampfli型光子准晶的基本结构单元由三角形与正方形的边对边拼接组合结构，以三角形未参与组合的顶点为旋转中心旋转6次而成，因此满足C6对称性，如图1中蓝色格子所示，将蓝色格子根据Stampfli型光子准晶的自相似因子σ＝2+2cos(2π/12)＝3.7320缩小至1/σ＝0.2680倍后形成右下插入图，把其视作格点置于蓝色格子的格点处，即可形成Stampfli型光子准晶的晶格结构。Stampfli型光子准晶基本结构单元按三角晶格周期化即可形成2D S-T光子晶体，如图2所示(只呈现了部分)。设晶格常数a＝1μm，其晶格基矢为： 相邻散射子之间的距离(也为Stampfli型光子准晶的晶格常数)，内部7个散射子的直径为d1，外部12个散射子的直径为d2，基本结构单元由锗介质柱(εra＝16)排列于空气(εrb＝1)中构成。
对于Type I与Type III光子晶体，各散射子间的耦合系数因散射子直径的不同而不同，进一步可得到具有拓扑非平庸Zak相位的能带致使拓扑边界态的出现，此边界态又被称为拓扑界面态，若在x方向与y方向边界同时存在非平庸的Zak相位，则可导致边界的极化，使得具有拓扑平庸态与拓扑非平庸态Zak相位的光子晶体间产生拓扑角态。因此，为了表征光子晶体的拓扑特性，本发明从2D极化矢量P＝(Px,Py)定义一个拓扑不变量。沿i方向的极化Pi表达式为：
其中，BZ表示第一布里渊区，表示沿i方向的Zak相位，表示贝里联络，ψ为能带的周期性布洛赫函数。可推导出2D S-T光子晶体的哈密顿量满足H(-k)＝H*(k)，且其满足时间反演对称性，因此总Berry曲率之和为零。在系统处于零Berry曲率的条件下，基于式(1)，可得到判断极化值Pi更简单的方法，即通过判断布里渊区高对称点处宇称的符号来求解，如下所示：
其中，ηn(Mi)及ηn(Γ)分别表示在第一布里渊区第n条能带Mi及Γ点处的宇称大小，为判断符号。另外，对于满足C6对称性的结构，因其也满足镜面对称性而具有关系Px＝Py，当求得的极化为1/2时，四极子态Qxy＝PxPy＝1/4，即产生了拓扑边界态及拓扑角态。
二、结果与讨论
本发明计算了三种散射子直径情形的2D S-T光子晶体的能带结构，如图3所示。
由图3(a)、3(b)及3(c)可知，当2D S-T光子晶体由Type I变化为Type III时，能带结构中存在多重Dirac点的打开到简并到再打开的演变过程。根据以往研究所得结论可知，该2D S-T光子晶体在低频段可实现光量子自旋霍尔效应，因此，赝自旋这一自由度得以引入。不过，对于高频范围，相较于以往研究，能带中虽未出现如低频段中具有规律性的p-d能带反转现象，其仍然存在多重Dirac点的破缺过程。进一步分析布里渊区的Γ及M点处的宇称，由式(2)可知，对于图3(d)左图及图3(e)右图带隙下最近邻能带的极化值为0，而对于图3(d)右图及图3(e)左图中带隙下最近邻能带的极化值为1/2，因此，此时能带具有拓扑特性，可相应地产生拓扑角态。为使描述更为简洁，带隙下最近邻能带Γ及M点处具有不同宇称的情形记为Nontrivial，相同宇称的情形记为Trivial。通过大量能带计算及规律总结发现，只要低频段发生能带反转，Type I与Type III光子晶体高频段错位的共同带隙下只会出现如图3(d)所示的Trivial(左)与Nontrivial(右)情形及图3(e)所示的Nontrivial(左)与Trivial(右)情形。相反地，若低频段未发生能带反转，则高频段错位的共同带隙下最近邻的能带只有在不同材料的Type I光子晶体中才可出现上述情形。
进一步探索不同频段下2D S-T光子晶体的拓扑特性，并验证有带隙的拓扑边界态的出现，计算由能带反转前后且具有错位的共同带隙的拓扑平庸态与拓扑非平庸态光子晶体构成的超晶胞的投影能带，如图4所示。
由图4(a)可知，由Type I与Type III的2D S-T光子晶体组合结构为光量子自旋霍尔效应产生的拓扑边界态，其与体态间存在一定频段的间隙。由图4(b)可知，对于Type I光子晶体，将其与没有发生能带反转但具有错位的共同光子带隙的Type III光子晶体组合时，因两者带隙下具有不同的极化值将产生有带隙的拓扑边界态，图4(a)及4(b)三个频段的带隙宽度分别为Δf1＝5.8THz、Δf2＝20.4THz及Δf3＝20.2THz。另外，我们发现，两种Type I或两种Type III光子晶体只要它们错位的带隙下最近邻的能带是Nontrivial与Trivial的组合情形，也可在投影能带中产生拓扑边界态，与同样具有C6对称性的蜂窝晶格光子晶体的能带结构相比，2D S-T光子晶体的拓扑边界态与体态间更易存在较大的带隙频率差。因此，2D S-T光子晶体可为拓扑角态的出现提供丰富的条件。由图4(c)及4(d)可知，在边界态色散曲线上A、B、C及D点所对应的模场主要分布在Type I与Type III光子晶体边界处而向两侧衰减，符合边界态的特性。图4(a)涉及的2D S-T光子晶体组合结构由于赝自旋自由度的引入可实现具有自旋-方向锁定的单向传输效应，即具有不同圆极化方向的波源可产生不同方向的单向传输，而对于图4(b)的边界态仅由非平庸的Zak相位产生，也可在边界传输但不具有单向性。因两种拓扑边界态的物理机理不同，从而为2D S-T光子晶体实现不同物理机理的拓扑角态提供可能。为了进一步探索拓扑角态是否可由边界态极化产生，需设计箱形结构并求解其截断能带，如图5所示。
图5(a)及5(c)中拓扑边界态的频率范围与图3中的一致，但在带隙中出现了不属于图3投影能带的独立解(框线内)，分析其中三个代表点对应的本征模场分布，如图5(b)及5(d)所示，电场皆聚集在箱形结构内部的六个角落处，证明了两种不同机理的拓扑角态实现的可行性。为了进一步验证拓扑角态是否可在现实中实现且是否可克服缺陷，以图5同样的排布方式在仿真中构建波导，波导的波源位于箱形结构六边形下边界中心处，同时引入缺陷验证角态的拓扑特性，如图6所示。
如图6(a)所示，由量子自旋霍尔效应的拓扑边界态产生的拓扑角态具有自旋-方向锁定的关系，与拓扑边界态的产生机理一致，同样可由具有不同圆极化方向的波源激发逆时针或顺时针方向强度逐渐减弱的拓扑角态。对于由拓扑界面态产生的拓扑角态，引入了两种不同的缺陷方式，由图6(b)可知，六个角落处仍然存在电场，且对角落附近的缺陷具有免疫性，证明得到的角态是受拓扑保护的。并且，本发明也分析了平行四边形箱形结构的拓扑角态以展现此方法实现拓扑角态的普适性与稳定性，如图7所示。
三、结论
本发明基于2D S-T光子晶体，改变其散射子直径大小以产生里大外小型、里外一致型及里小外大型三种不同类型的基本结构单元，因破坏了边界处的C6对称性使其能带结构中发生能带反转而产生拓扑相变，此时在两者能带反转之外错位的共同带隙中也存在Dirac点的打开、简并及再打开的过程，计算两者组合超晶胞结构计算投影能带得到有带隙的边界态，相较于其它具有C6对称性的结构，2D S-T光子晶体更易产生宽带隙。同时，只要带隙下最近邻的能带具有不同的极化值即可存在有带隙的拓扑边界态进而产生拓扑角态，这是实现拓扑角态的简易方法，也为多频段拓扑角态的实现提供线索。
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